Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥NN于点M，BN⊥MN于N．

（1）求证：△AMC≌△CNB；

（2）求证：MN＝AM+BN．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）首先根据题干条件求出∠2＝∠1，∠4＝∠5，结合AC=BC，即可证明△BNC≌△CMA；（2）由（1）得到AM＝CN，CM＝BN，即可证明出结论．

证明：（1）如图：

∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠4＝∠5＝90°，∠2+∠3＝90，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1+∠3＝90，

∴∠2＝∠1，

在△AMC和△CNB中

，

∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）由（1）得△AMC≌△CNB，

∴AM＝CN，CM＝BN，

∴MN＝CN+CM＝AM+BN