Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）BE=4.

【解析】

（1）由角平分线定理可得CE=CF，利用HL即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；

（2）首先利用HL证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到AE=AF，然后由Rt△BCE≌Rt△DCF得BE=DF，最后根据AE+BE=AF+BE=AD+2BE即可得出答案.

证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，

∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°，

即△CBE和△CFD，△ACE和△ACF都是直角三角形.

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∵CE=CF，BC=CD，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）.

（2）在Rt△AEC和Rt△AFC中，

∵AC=AC，CE=CF，

∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），

∴AE=AF.

由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴BE=DF.

∵AB=15，AD=7，

∴AE+BE=15=AF+BE，

∴AD+DF+BE=15，

∴2BE=15-7=8，

∴BE=4.