Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点.

(1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线.

(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AE，由等弦对等弧可得，进而推出，可知AE为⊙O的直径，再由等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，根据DE∥BC即可得DE⊥AE，即可得证；

（2）连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，利用勾股定理求出AG，然后求直径AE，再利用垂径定理求出HF，最后用勾股定理求AF和EF.

证明：（1）如图，连接AE，

∵AB=AC

∴

又∵点E是弧BC的中点，即

∴，即

∴AE为⊙O的直径，

∵

∴∠BAE=∠CAE

又∵AB=AC

∴AE⊥BC

∵DE∥BC

∴DE⊥AE

∴DE是⊙O的切线.

（2）如图，连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，

∴∠ABE=∠AFE=90°，OF⊥AC

由（1）可知AG垂直平分BC，∴BG=BC=6

在Rt△ABG中，

∵cos∠BAE=cos∠BAG

∴，即

∴AE=

∴⊙O的直径为，半径为.

设HF=x，则OH=

∴在Rt△AHO中，

即，

解得

∴

∴