Question

已知抛物线与轴交于A，B两点(A在B左边)，与轴交于C点，顶点为P，OC=2AO.

(1)求与满足的关系式；

(2)直线AD//BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求的值；

(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到OA长度，再由C点坐标得到OC长度，然后利用OC=2AO建立等量关系即可得到关系式；

（2）利用待定系数法求出直线BC的k，根据平行可知AD直线的斜率k与BC相等，可求出直线AD解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作PE⊥x轴交AD于点E，求出PE即可表示△ADP的面积，从而建立方程求解；

（3）为方便书写，可设抛物线解析式为：，设，，过点M的切线解析式为，两抛物线与切线联立，由可求k，得到M、N的坐标满足，将（1，-1）代入，推出G为直线上的一点，由垂线段最短，求出OG垂直于直线时的值即为最小值.

【解析】
（1）

令y=0，，解得，

令x=0，则

∵， A在B左边

∴A点坐标为（-m，0），B点坐标为（4m，0），C点坐标为（0，-4am2）

∴AO=m，OC=4am2

∵OC=2AO

∴4am2=2m

∴

（2）∵

∴C点坐标为（0，-2m）

设BC直线为，代入B（4m，0），C（0，-2m）得

，解得

∵AD∥BC，

∴设直线AD为，代入A（-m，0）得，，

∴

∴直线AD为

直线AD与抛物线联立得，

，解得或

∴D点坐标为（5m，3m）

又∵

∴顶点P坐标为

如图，过P作PE⊥x轴交AD于点E，则E点横坐标为，代入直线AD得

∴PE=

∴S△ADP=

解得

∵m＞0

∴

∴.

（3）在（2）的条件下，可设抛物线解析式为：，

设，，过点M的切线解析式为，

将抛物线与切线解析式联立得：

，整理得，

∵，

∴方程可整理为

∵只有一个交点，

∴

整理得即

解得

∴过M的切线为

同理可得过N的切线为

由此可知M、N的坐标满足

将代入整理得

将（1，-1）代入得

在（2）的条件下，抛物线解析式为，即

∴

整理得

∴G点坐标满足，即G为直线上的一点，

当OG垂直于直线时，OG最小，如图所示，

直线与x轴交点H（5,0），与y轴交点F（0，）

∴OH=5，OF=，FH=

∵

∴

∴OG的最小值为.