Question

如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

Answer

（1）AD=2

（2）是，理由见解析

【解析】

（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可。

（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线。

【解析】
（1）连接BD，则∠DBE=90°，

∵四边形BCOE为平行四边形，

∴BC∥OE，BC=OE=1。

在Rt△ABD中，C为AD的中点，

∴BC=AD=1。∴AD=2。

（2）BC为⊙O的切线。证明如下：连接OB，

∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形。

∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD。

∴四边形BCDO为矩形。∴OB⊥BC。

∵OB是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线。