Question

如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

Answer

（1）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（2）∠CMQ=60°不变，理由详见解析.

【解析】

（1）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；

（2）∠CMQ=60°不变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=5-t，

①当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=；

②当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t=；

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；

（2）∠CMQ=60°不变．

在△ABQ与△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．