Question

如图，在中，过点作，垂足为点，过点分别作，，垂足分别为.连接交线段于点.

（1）在图一中，，，有几组相似的三角形，请写出来；

（2）在图二中，证明:；

（3）如果，，试求的值.

Answer

（1）三组；（2）证明见解析；（3）4.

【解析】

(1)根据对应角相等即可得到三组相似三角形；（2）根据（1）即可得到△CDE∽△CAD,得到,同理可知，所以；（3）根据垂直关系得到C、E、D、F四点共圆，即可得到答案.

（1）∵, ,

∴,

∵∠C=∠C,

∴△CDE∽△CAD,

∵∠A=∠A,

∴△DAE∽△CAD,

∴△CDE∽△DAE,

故有三组相似三角形，它们是：△CDE∽△CAD, △DAE∽△CAD, △CDE∽△DAE;

（2）由（1）可得△CDE∽△CAD，

∴,即,

同理可得,即,

∴;

(3)∵，，

∴OD=,

∵,,

∴∠CED=∠CFD=,

∴C、E、D、F四点共圆，

∴∠CDE=∠CFE,∠DEF=∠DCF,

∴△ODE∽△OFC,

∴,

∴.