Question

如图（1），在和中，为边上一点，平分，，.

（1）求证：

（2）如图（2），若，连接交于，为边上一点，满足，连接交于. ①求的度数；

②若平分，试说明：平分.

Answer

（1）见解析；（2）①60°；②见解析；

【解析】

（1）由角平分线定义得出∠ACB=∠ECD，由SAS证明△ABC≌△EDC即可；

（2）①由SAS证明△BCF≌△DCG，得出∠CBF=∠CDG，在△BCF和△DHF中，由三角形内角和定理得出∠DHF=∠ACB=60°即可；

②由全等三角形的性质得出∠DEC=∠A，由三角形的外角性质得出∠ECM=∠2+∠1=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°，得出∠A+∠ABC=2（∠2+∠1）=2∠2+2∠1=2∠2+∠A，即可得出结论．

(1)证明：∵CA平分∠BCE，

∴∠ACB=∠ECD，

在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC(SAS)；

(2)①在△BCF和△DCG中, ，

∴△BCF≌△DCG(SAS)；

∴∠CBF=∠CDG,

在△BCF和△DHF中，∵∠BFC=∠DFH，

∴∠DHF=∠ACB=60°；

②证明：如图(2)所示：

由(1)得：△ABC≌△EDC，

∴∠DEC=∠A，

∵∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ECM=60°，

∵EB平分∠DEC，

∴∠DEC=2∠1，

∵∠ECM=∠2+∠1=60°,∠DCM=∠A+∠ABC=120°，

∴∠A+∠ABC=2(∠2+∠1)=2∠2+2∠1=2∠2+∠A，

∴∠ABC=2∠2，

∴BE平分∠ABC.