Question

已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．

求证：（1）DE是⊙O的切线；

（2）ME²＝MD•MN．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．

证明：（1）∵ME平分∠DMN，

∴∠OME＝∠DME，

∵OM＝OE，

∴∠OME＝∠OEM，

∴∠DME＝∠OEM，

∴OE∥DM，

∵DM⊥DE，

∴OE⊥DE，

∵OE过O，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接EN，

∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，

∴∠MDE＝∠MEN＝90°，

∵∠NME＝∠DME，

∴△MDE∽△MEN，

∴，

∴ME2＝MD•MN