Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？  

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）平分；（2）（2）t=59或14 （3）∠AOM－∠NOC=220

【解析】

试题（1）根据角平分线的定义和平角的定义求出∠COP=30°，即可证得直线ON平分∠AOC；

（2）当ON绕O点旋转至图②位置时，此时ON转过60°，旋转时间为10秒；当ON转至锐角∠AOC内部平分∠AOC时，ON转过90°+150°=240°，旋转时间为40秒；

（3）根据∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=60°，得到∠AOM一∠NOC =30°.

试题解析：（1）直线ON平分∠AOC（如图），理由如下：

∵OM平分∠BOC，且∠BOC=120°，

∴∠COM=60°，

又∠MON=90°，

∴∠POM=90°，

∴∠COP=30°，

又∠AOC=60°，

∴OP平分∠AOC，

即直线ON平分∠AOC.

（2）当ON绕O点旋转至图②位置时，ON平分∠AOC，此时ON转过60°，

当ON转至锐角∠AOC内部平分∠AOC时，ON转过90°+150°=240°，

所以t=10或40（秒） ，

答：旋转时间t的值为10秒或40秒.

（3） ∠AOM—∠NOC=30°，

∵∠AOM+∠AON=90°，

∠AON+∠NOC=60°，

∴∠AOM一∠NOC =30°.