Question

二次函数图象如图，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③对于任意实数m，都满足am²+bm≤a+b；④a﹣b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂＝2．其中正确的有_____．（把正确的序号都填上）

Answer

①③⑤

【解析】

①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x＝﹣＝1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x＝1时y＝a+b+c最大，从而解决问题；④只需根据抛物线的对称性就可得到x＝﹣1与x＝3所对应的函数值相同，然后根据图象确定x＝3所对应的函数值的符号，即可得到x＝﹣1所对应的函数值的符号；⑤由+bx1＝+bx2可得+bx1+c＝+bx2+c，然后利用抛物线的对称性即可解决问题．

①由抛物线的开口向下可得a＜0，

由对称轴在y轴的右边可得x＝﹣＞0，从而有b＞0，

由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，

则abc＜0，故①正确；

②由对称轴方程x＝﹣＝1得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②错误；

③由图可知，当x＝1时，y＝a+b+c最大，

则对于任意实数m，都满足am2+bm+c≤a+b+c，即am2+bm≤a+b，故③正确；

④由抛物线的对称性可得x＝﹣1与x＝3所对应的函数值相同，

由图可知x＝3所对应的函数值为负，

因而x＝﹣1所对应的函数值为负，即a﹣b+c＜0，故④错误；

⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则+bx1+c＝+bx2+c，

所以抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，

所以1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，故⑤正确．

故答案为①③⑤．