Question

如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（　　）

A.≤b≤1 B.≤b≤1 C.≤b≤ D.≤b≤1

Answer

B

【解析】

延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，代入整理得到y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．

【解析】
如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．

在△PAB与△NCA中，

，

∴△PAB∽△NCA，

∴，

设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，

∴，

∴y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，≤x≤3，

∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，

x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，

∴b的取值范围是﹣≤b≤1．

故选：B．