Question

如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是　　；

（2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8

①第几次滚动后，大圆离原点最远？

②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）

（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

Answer

（1）﹣4π；

（2）①第6次滚动后，大圆离原点最远；

②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有40π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是20π；

（3）18π、9π或﹣18π、﹣9π或6π、﹣3π或﹣6π、3π．

【解析】

（1）该圆与数轴重合的点所表示的数的绝对值，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，大圆离原点的距离，比较作答；
②先计算总路程，因为小圆不动，计算各数之和为-10，即大圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为20π；
（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距9π列等式，求出即可．

【解析】
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π•2＝﹣4π；

（2）①第1次滚动后，|﹣1|＝1，

第2次滚动后，|﹣1+2|＝1，

第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3，

第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，

第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，

第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，

则第6次滚动后，大圆离原点最远；

②1+2+4+3+2+8＝20，

20×2π＝40π，

﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，

∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有40π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是20π；

（3）设时间为t秒，

分四种情况讨论：

i）当两圆同向右滚动，

由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，

小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，

2πt﹣πt＝9π，

2t﹣t＝9，

t＝9，

2πt＝18π，πt＝9π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π．

ii）当两圆同向左滚动，

由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，

小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，

﹣πt+2πt＝9π，

﹣t+2t＝9，

t＝9，

﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣18π、﹣9π．

iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，

同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π，

3t＝9，

t＝3，

2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、﹣3π．

iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，

同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π，

t＝3，

πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣6π、3π．