Question

如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．

（1）求证：BE=CD；

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

Answer

见解析

【解析】

根据旋转可得AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC，从而得到∠BAE=∠CAD，从而得出△ACD和△ABE全等，从而得出答案；根据题意得出△ABD和△ABE全等，从而得出∠EBF=∠DBF，根据EF∥BC得到∠DBF=∠EFB，从而得到∠EBF=∠EFB，则EB=EF，利用同理得出BD=FD，从而得到菱形．

证明（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE

∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC

∴∠BAE=∠CAD

在△ACD和△ABE中

∴△ACD≌△ABE（SAS）

∴BE=CD；

（2）∵AD⊥BC

∴BD=CD,∠BAD=∠CAD

由（1）可知，△ACD≌△ABE

∴BE=BD=CD，∠BAE=∠BAD

在△ABD和△ABE中

∴△ABD≌△ABE（SAS）

∴∠EBF=∠DBF，

∵EF∥BC

∴∠DBF=∠EFB

∴∠EBF=∠EFB

∴EB=EF，同理BD=FD

∴BD=BE=EF=FD，

∴四边形BDFE为菱形