Question

已知：如图所示的一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开， 折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）在线段AC上是否存在一点P，使得?若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点，点就是符合条件的点，见解析

【解析】

（1）由折叠的性质得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠∠，∠EAO=∠FCO，由ASA证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．则∠AEP=90°，证出△AOE∽△AEP，得出对应边成比例，则AE2=AO•AP，再由AO＝AC，即可得出结论．

（1）证明：在矩形ABCD中, AD∥BC

∴ ∠∠，∠＝∠

由折叠可知：OA=OC

∴ △≌△

∴ AE=CF，

又AE∥CF

∴ 四边形是平行四边形

又由折叠可知:AF=CF，

∴ 四边形是菱形.

（2）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点，点就是符合条件的点.

理由如下：

由作法得：∠AEP=90°，

由(1)得：AC⊥EF，

∴∠90°

∴∠∠90°，

又∵∠∠

∴ △∽△

∴

∴AE2=AO•AP，

∵AO＝AC，

∴AE2＝AC•AP

即：．