Question

如图，在平面直角坐标系中，A (8,0) ,B (0,6)，动点M从点A出发沿AO以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时动点N从点B出发沿折线BO﹣OA向终点A运动，点N在y轴上的速度是每秒3个单位长度，在x轴上的速度是每秒4个单位长度，过点M作x轴的垂线交AB于点C，连结MN、CN．设点M运动的时间为t（秒），△MCN的面积为S（平方单位）．

（1）当t为何值时，点M、N相遇?

（2）求△MCN的面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式；

（3）当t为何值时，△MCN是等腰三角形?

Answer

（1）；（2）当0＜t≤2时，；当2＜t＜ 时，；当＜t≤4时，；（3）当t＝或或时，△MCN是等腰三角形

【解析】

（1）由题意列方程可求t的值；
（2）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三种情况讨论，即可求t的值．

【解析】
（1）由题意可得：2t+4（t﹣2）＝8

∴t＝

∴当t＝时，点M、点N相遇；

（2）∵CM⊥OA，BO⊥OA，

∴CM∥BO，

∴△CMA∽△BOA ，

∴ 即：，

①如图1所示：当0＜t≤2时， ，

②如图2所示：当2＜t＜ 时，，

③如图3所示：当＜t≤4时，；

（3）应分三种情况讨论：

①当0＜t≤2时，点N在BO上．

（i）如图4，过C作CH⊥OB于H，

则CH＝OM＝

又∵CM＝

∴CH—CM=—=

当0＜t≤2时，＞0，即CH＞CM

又CN≥CH，MN≥CH

∴CN＞CM，MN＞CM

即CNCM，MNMC

（ii）若NC=NM时，则△MCN是等腰三角形．

此时点N在CM的垂直平分线上，

∴ON=,

则有：6﹣3t＝

解得：t＝

②当2＜t＜时，如图2所示：此时点N在OA上，且点N在点M左侧．

∵∠CMN＝90°

∴只有当MC=MN时，△MCN是等腰三角形．

此时,

则有：

解得：t＝

③当＜t≤4时，如图3所示：点N在OA上，且点N在点M右侧．

同理可得：只有当MC=MN时，△MCN是等腰三角形．

此时

则有：

解得：t＝

综上所述：当t＝或或时，△MCN是等腰三角形．