Question

已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直线AE与BD交于点F.

（1）如图1所示，

①求证AE= BD

②求∠AFB (用含α的代数式表示)

（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，得到如图2所示的图形，若∠AFB= 150°，请直接写出此时对应的α的大小(不用证明)

Answer

（1）①见解析，②180° -α（2）30°

【解析】

（1）①由∠ACD=∠BCE=α，得到∠ACE=∠DCB=180°，然后得到△ACE≌DCB，即可得到AE=BD；

②由①知△ACE≌DCB，则∠CAF=∠CDF，利用三角形内角和定理，由∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，则∠AFB=∠DCB=；

（2）由∠AFB= 150°，则∠EFB=，由∠ACD=∠BCE，得∠ACE=∠DCB，然后得到△ACE≌△DCB，得到∠AEC=∠DBC，则∠BCE=∠EFB=30°.

【解析】
（1）如图1：

①证明：∵∠ACD=∠BCE=α，

∴180°∠ACD=180°∠BCE，

即∠ACE=∠DCB=180°，

∵CA=CD，CB=CE，

∴△ACE≌DCB，

∴AE=DB；

②∵△ACE≌DCB，

∴∠CAF=∠CDF，

由三角形内角和定理，得

∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，

∴∠AFB=∠DCB=；

（2）如图2：

∵∠AFB= 150°，

∴∠EFB=，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO，

∴∠ACE=∠DCB，

∵AC=DC，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠DBC，

∵∠FOE=∠COB，

∴∠BCE=∠EFB=30°，

∴.