Question

已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．

（1）求证：AF＝CE；

（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）四边形AFCE是矩形，证明详见解析．

【解析】

（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD＝CD，∠ADF＝∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF＝CE．

（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．

（1）证明：在△ADF和△CDE中，

∵AF∥BE，

∴∠FAD＝∠ECD．

又∵D是AC的中点，

∴AD＝CD．

∵∠ADF＝∠CDE，

∴△ADF≌△CDE．

∴AF＝CE．

（2）【解析】
若AC＝EF，则四边形AFCE是矩形．

证明：由（1）知：AF＝CE，AF∥CE，

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵AC＝EF，

∴平行四边形AFCE是矩形．