Question

如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长

Answer

（1）详见解析；（2）10

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF；

（2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出 ，求出CG＝6，即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，

∵∠BEF＝90°，

∵∠AEB+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

∴△ABE∽△DEF；

（2）【解析】
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，

∴DF＝1，CF＝3，

∵△ABE∽△DEF，

∴，即 ，

解得：DE＝2，

∵AD∥BC，

∴△EDF∽△GCF，

∴，即，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．