Question

如图，在菱形中，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连拉.

（1）求证：四边形是平行四边形。

（2）填空：

①当的值为_______________时，四边形是矩形；

②当的值为_______________时，四边形是菱形.

Answer

（1）见解析；（2）①10；②20

【解析】

（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；

（2）①由（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

又∵点E是AD边的中点，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）【解析】
①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2．

∵AM=AD=1，

∴∠ADM=30°

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM=DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，