Question

(1)问题发现：如图1，在等边中，点为边上一动点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．则与的数量关系是_____，的度数为______．

(2)拓展探究：如图2，在中，，，点为边上一动点，交于点，当∠ADF=∠ACF=90°时，求的值．

(3)解决问题：如图3，在中，，点为的延长线上一点，过点作交的延长线于点，直接写出当时的值．

Answer

(1)，；(2)；(3).

【解析】

（1）由题意可证△DEC是等边三角形，∠AED=120°，可得DE=DC，由旋转性质可得∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF，由“SAS”可证△ADE≌△FDC，可得AE=CF，∠AED=∠DCF=120°，可得∠ACF=60°；
（2）通过证明△DAE∽△DFC，可得，通过证明△EDC∽△ABC，可得，即可求的值；

（3）通过证明△DAE∽△DFC，可得，通过证明△EDC∽△ABC，可得，即可求的值；

【解析】
（1）∵DE∥AB
∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60°
∴△DEC是等边三角形，∠AED=120°
∴DE=DC，
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，
∴∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF
∴∠ADE=∠FDC，且CD=DE，AD=DF
∴△ADE≌△FDC（SAS）
∴AE=CF，∠AED=∠DCF=120°
∴∠ACF=60°，
故答案为AE=CF，60°

（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°
∴tan∠BAC=

∵DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC=90°
∵∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB
∴∠AED=∠FCD，且∠ADE=∠FDC
∴△DAE∽△DFC

∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC

（3）∵AB∥DE
∴∠ABC=∠BDE=∠ADF，∠BAC=∠E
∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF，且∠ACF=∠ABC
∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△FDC

∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC

∵