Question

如图,中,,,于点E,于点D,BE与AD相交于F．

求证：；

若,求AF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）AF=3

【解析】

（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD=BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解答；
（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF=DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE=EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．

【解析】
（1）AD⊥BD，∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BDF和△ACD中，

∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF=AC；

（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD=3，CF=CD=3，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF=CF，
∴AF=3．