Question

如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点．

 

求抛物线的函数表达式；

如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且，求点M的坐标；

如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．

Answer

（1）；（2）点P坐标为或或或； 线段PN长度最大值为4．

【解析】

（1）把函数设为交点式，代入C点坐标，进而求出a的值即可；
（2）设M点坐标为（x，-x2-3x+4），根据S△AOM=3S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+4，再设N点坐标为（x，x+4），则P点坐标为（x，-x2-3x+4），然后用含x的代数式表示PN，根据二次函数的性质即可求出线段PN长度的最大值．

【解析】
（1）把函数设为交点式，

由，得，把代入，得，

故抛物线的解析式为；

（2）设M点坐标为，

，

，

整理得或，

解得或，

则符合条件的点P坐标为或或或；

（3）设直线AC的解析式为，将，代入，

，

解得，

即直线AC的解析式为，

设点N坐标为，，则P点坐标为，

设，则，

即当时，y有最大值4，

故线段PN长度最大值为4．