Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，点E的坐标分别为（0，1），对称轴交BE于点F．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y＝﹣x2+3x；(2)见解析.

【解析】

1）利用矩形的性质得A（4，0），C（0，3），B（4，3），再利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（2，3），则可设交点式y=ax（x-4），然后把顶点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出，直线BE的解析式为y＝x+1，则可求出F（2，2），然后讨论：当AF为对角线时，利用FM∥AN得到M点的纵坐标为2，于是解方程﹣ x2+3x＝2可得到M点的坐标；当AF为边时，若四边形AFMN为平行四边形，易得M点的坐标；若四边形AFNM为平行四边形时，利用平行四边形的性质和点的平移规律得到M点的纵坐标为-2，则解方程-﹣x2+3x＝﹣2可得M点的坐标．

【解析】
（1）∵四边形OABC为矩形，

∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝4，

∴A（4，0），C（0，3），B（4，3），

∵抛物线的对称轴平分BC，

而抛物线的顶点在BC上，

∴抛物线的顶点坐标为（2，3），

设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣4），

把（2，3）代入得a•2•（﹣2）＝3，解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4），

即y＝﹣x2+3x；

（2）存在．

设直线BE的解析式为y＝kx+b，

把B（4，3），E（0，1）代入得，解得，

∴直线BE的解析式为y＝x+1，

当x＝2时，y＝x+1＝2，则F（2，2），

当AF为对角线时，FM∥AN，

∴M点的纵坐标为2，

当y＝2时，﹣ x2+3x＝2，解得x1＝（舍去），x2＝，

此时M点的坐标为（，2）；

当AF为边时，若四边形AFMN为平行四边形，易得M点的坐标为（，2）；

若四边形AFNM为平行四边形时，点F向下平移2个单位得到N点，则点A向下平移2个单位得到M点，

∴M点的纵坐标为﹣2，

当y＝﹣2时，﹣ x2+3x＝﹣2，解得x1＝（舍去），x2＝，

此时M点的坐标为（，﹣2），

综上所述，符合条件的点M的坐标为（，﹣2）或（，2）．