Question

如图，已知点A、B以及直线l，AE⊥l，垂足为点E．

（1）过点B作BF⊥l，垂足为点F；

（2）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；

（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．）

（3）在所作的图中，连接CA、CB，若∠ACB＝90°，求证：△AEC≌△CFB．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；

【解析】

（1）利用尺规作图法，任取一点，使点在点B的两侧，以B点为圆心，B点到该点的长为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点一半距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与该点与直线l交于点F，即为所求点；

（2）利用尺规作图法，在线段AB的两端点用同一半径画弧，在线段的两旁各得一个交点，将此两交点连接起来，这个连线即为线段的垂直平分线，与直线l交于点C，即为所求点；

（3）首先由AE⊥l，得出∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°，再由∠ACB＝90°，∠3+∠2＝90°，得出∠1＝∠3，即可判定△AEC≌△CFB.

（1）【解析】
如图，直线BF就是要求作的垂线；

（2）【解析】
如图，点C就是所要求作的点；

（3）证明：∵AE⊥l，

∴∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°．

∵∠ACB＝90°，

∴∠3+∠2＝90°．

∴∠1＝∠3，

在△AEC和△CFB中

∴△AEC≌△CFB （AAS）．