Question

如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）求证：△CAE≌△BAD；

（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．

Answer

（1）详见解析；（2）α+β＝180°；理由见解析；（3）详见解析；

【解析】

（1）首先由∠DAE＝∠BAC，得出∠CAE＝∠BAD，然后由AD＝AE，AC＝AB，即可判定△CAE≌△BAD；

（2）首先由△CAE≌△BAD，得出∠ACE＝∠B，然后由AB＝AC，得出∠B＝∠ACB，进而得出∠ACE＝∠B＝∠ACB，∠BCE＝β＝2∠B，即可得出α+β＝180°；

（3）由△CAE≌△BAD，得出CE＝BD，再由∠BAC＝90°，AB＝AC，得出∠B＝∠ACB＝45°，又由∠BCF+∠BAC＝180°，得出∠BCF＝90°，∠F＝∠B＝45°，进而得出CF＝CB，即可得出EF＝DC．

（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，

∴∠CAE＝∠BAD．

∵AD＝AE，AC＝AB，

∴△CAE≌△BAD（SAS）．

（2）【解析】
α+β＝180°，

理由如下：

由△CAE≌△BAD，

∴∠ACE＝∠B．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB．

∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．

∴∠BCE＝β＝2∠B，

在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．

∴α+β＝180°．

（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，

∴CE＝BD．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．

∴∠BCF＝90°．

∴∠F＝∠B＝45°，

∴CF＝CB．

∴CF﹣CE＝CB﹣BD．

∴EF＝DC．