Question

如图在中，，，是的平分线，交于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接.

求证：（1）；

（2）为等腰三角形

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）依据AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD=36°，由∠BAD=∠ABD，可得AD=BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；

（2）依据FE⊥AB，AE=BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF=∠ABF，依据∠ABD=∠BAD，即可得到∠FAD=∠FBD=36°，再根据∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°，可得∠CAF=∠AFC=36°，进而得到AC=CF．

证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=72°，

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=36°，

∴∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD，

又∵E是AB的中点，

∴DE⊥AB，即FE⊥AB；

（2）∵FE⊥AB，AE=BE，

∴FE垂直平分AB，

∴AF=BF，

∴∠BAF=∠ABF，

又∵∠ABD=∠BAD，

∴∠FAD=∠FBD=36°，

又∵∠ACB=72°，

∴∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°，

∴∠CAF=∠AFC=36°，

∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形．