Question

如图，抛物线过，两点．

   

                        备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点P的坐标；

（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点G的坐标．

Answer

（1）抛物线表达式为：；（2）点P坐标为，，（3）点G坐标为，．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线表达式.

（2）设P点横坐标为m，当1＜m＜4时，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，连接BP、AP，通过三角形的面积先求出PM的长，然后利用m表示PM的长，即可求出m，从而得到P点坐标；当0＜m＜1时，如图，过点P作PN∥x轴，交AB于点N，连接BP、AP，先通过三角形面积求出PN的长，可用m表示N点的横坐标，令P和N的纵坐标相等即可求出m，从而求出P点的坐标.综上即可得到答案.

（3）通过已知条件，得到∠BAO为45°，然后分点G在AB上方和下方两种情况讨论即可.

【解析】
（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx

得

解得

∴抛物线表达式为：y=-x2+4x；

（2）设P点横坐标为m，

当1＜m＜4时，如图，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，连接BP、AP，

由于A（4，0），B（1，3）

∴，

∴PM=2，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A（4，0），B（1，3）代入y=kx+b，

，

解得，

∴直线AB的解析式为y=-x+4，

设，，

则PM=，

∴，

解得，m=2或m=3，

∴P点坐标为或

当0＜m＜1时，如图，过点P作PN∥x轴，交AB于点N，连接BP、AP，

∴，

∴PN=2，

设，

则N点横坐标为m+2，∴，

由于PN两点纵坐标相同，

∴，

解得，（舍去），

∴P点坐标为，

综上所述，点P坐标为，，.

（3）如下图，过点A作AE⊥x轴，过点G作GE⊥y轴，交AE于点E，

易得∠BAC=45°，

若，

则∠OBC=∠GAE，

∴△BOC∽△AGE，即AE=3GE，

设，则

解得，n=3或n=4（舍去）

∴G，

如下图，连接AG交BC于点F，

若，

则∠OBC=∠GAO，

易得，△OBC≌△FAC，

∴F（1,1）

可得直线AF的解析式为

联立解析式

解得，x=4（舍去）或x= ，

∴G，

综上所述，G，G.