Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　   　后，点P与点Q第一次在△ABC的　   　边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

Answer

（1）①①△BPD≌△CPQ，理由见解析；②3cm/s；（2）24秒，AC

【解析】

（1）①△BPD≌△CPQ，利用已知条件求出BP＝CQ，PC＝BD．利用SAS证明△BPD≌△CQP．

②由点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，得到BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝6cm，从而求出点P，点Q运动的时间为4÷2＝2秒，即可解答．

（2）设经过t秒后，点P与点Q第一次相遇．由题意：3t﹣2t＝24，求出x即可解决问题；

【解析】
（1）①△BPD≌△CPQ，

理由如下∵t＝1s，

∴BP＝CQ＝2×1＝2cm，

∵AB＝12cm，点D为AB的中点，

∴BD＝6cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，

∴PC＝8﹣2＝6cm，

∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD和△CPQ中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，

∴BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝6cm，

∴点P，点Q运动的时间为4÷2＝2s，

∴Q点的运动速度为6÷2＝3（cm/s）．

（2）设经过t秒后，点P与点Q第一次相遇．

由题意：3t﹣2t＝24，

∴t＝24，

∴24×3＝72，

∵△ABC的周长为32，

∴点P与点Q第一次相遇在AC边上．

故答案为24秒，AC．