Question

某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价y₁（单位：元）与它的边长x（单位：cm）满足关系式y₁＝，每张薄板的出厂价y₂（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价y₂与边长x之间满足的函数关系式；

（2）已知：利润＝出厂价﹣成本价

①求一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式；

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）y2＝2x+10；（2）①一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式为y＝﹣+2x+10；②当边长为25cm时，出厂一张薄板利润最大，最大利润为35元．

【解析】

（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）①y=y2-y1，将y2和y1的表达式代入，即可求出利润y与边长x之间满足的函数关系式；②将①中的二次函数的一般式改写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

（1）根据题意，出厂价y2与边长x之间满足一次函数关系式，设y2＝kx+b

由表中数据可得：

解得：

∴y2＝2x+10；

（2）①由题意得，y＝y2﹣y1

＝（2x+10）﹣

＝﹣+2x+10

∴一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式为y＝﹣+2x+10；

②y＝﹣+2x+10

＝

∵

∴当x＝25时，y最大值＝35

又∵x＝25时，满足5＜x＜50

∴当边长为25cm时，出厂一张薄板利润最大，最大利润为35元．