Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）点B的坐标为（﹣2，﹣）．

（2）此抛物线的解析式为．

（3）存在．点P的坐标为（2，﹣）．

【解析】

（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．

（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．

【解析】
（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°．

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=．

∴点B的坐标为（﹣2，﹣）．

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，

得，解得．

∴此抛物线的解析式为．

（3）存在．

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，

设点P的坐标为（2，y）．

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，

当y=时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上．

∴y=不符合题意，舍去．

∴点P的坐标为（2，﹣）．

②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣．

∴点P的坐标为（2，﹣）．

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣．

∴点P的坐标为（2，﹣）．

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）．