Question

课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer

（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．

【解析】

(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.

(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）

∵PN∥BC,

∴=，△APN∽△ABC

∴=

∴=

∴=解得 y=

∴2y=

∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm

(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.

由（1）知=

∴=

∴ y=

则S=xy===

∵

∴ S有最大值

∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ．

∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．