Question

如图，将菱形纸片沿对角线剪开，得到和，固定，并把与叠放在一起．

操作：如图，将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方左右旋转，设旋转时交于点（点不与点重合），交于点（点不与点重合）．

求证：

操作：如图，的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），且始终经过点，过点作，交于点，连接．

探究：________．请予证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD，证明见解析.

【解析】

（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；
（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．

(1)∵将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，

∴∠B=∠D，

∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，

∴BF=DF，

∵∠HFG=∠B，

又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF

∴∠GFD=∠BHF，

∴△BFH∽△DGF，

∴，

∴BH⋅GD=BF2；

(2)∵AG∥CE,

∴∠FAG=∠C，

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠AGF=∠CFE，

∴AF=AG，

∵∠BAD=∠C，

∴∠BAF=∠DAG，

又∵AB=AD，

∴△ABF≌△ADG，

∴FB=DG，

∴FD+DG=BD，

故答案为BD.