Question

已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证：

（1）BD＝CD；

（2）DE是⊙O的切线．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，然后利用等腰三角形底边上的高是底边上的中线可以证明BD＝CD．

（2）连接OD，利用等边对等角和等量代换得到∠C＝∠ODB，根据同位角相等，两直线平行，得到OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥DF，根据切线的判断定理可以得到DE是⊙O的切线．

证明：（1）连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DE是⊙O的切线．