Question

如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，点P坐标为（-，），S△BPC最大=；

【解析】

（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；

（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；

（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．

（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴．

∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在．

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，

∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，

∵y=-x2-2x+3，

∴C的坐标为：（0，3），

直线BC解析式为：y=x+3，

Q点坐标即为，

解得，

∴Q（-1，2）；

（3）存在．

理由如下：设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），

∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-，

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，

∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，

=BE•PE+OE（PE+OC）

=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

=− (x+)2++，

当x=-时，S四边形BPCO最大值=+，

∴S△BPC最大=+−＝，

当x=-时，-x2-2x+3=，

∴点P坐标为（-，）．