Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（    ）

A.4 B. C. D.

Answer

C

【解析】

连接OE、OF，根据切线的性质和切线长定理可得：∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10，从而证出：四边形OFCE是正方形，可设OE=CE=CF=r，用r表示出AB和AC的长，然后根据勾股定理列出方程即可求出r，再根据勾股定理即可求出OB.

【解析】
连接OE、OF

∵⊙O为△ABC的内切圆，

∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10

∴四边形OFCE是正方形，

设OE=CE=CF=r

∴BE=BD=BC－CE=5－r

∴AB=AD＋BD=15－r，AC=AF＋CF=10＋r

根据勾股定理可得：AB2=AC2＋CB2

∴（15－r）2=（10＋r）2＋52

解得：r=2

∴OE=2，BE=5－2=3

根据勾股定理可得：

故选C.