Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac<b²；

②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-2   x₂=3；

③3a+c=0；

④当y>0时，x的取值范围是-1<x<3；

⑤当x<0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是(    )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

Answer

A

【解析】

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac＞0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②错误；

∵x=-=1，即b=-2a，

而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，

∴a+2a+c=0，故③正确；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），

∴当-1＜x＜3时，y＞0，故④正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，故⑤正确．

综上所述，正确的结论有①③④⑤，共4个．

故选A．