Question

已知二次函数y=x²+bx的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为____________。

Answer

（2，-6）

【解析】

先把A（4，0）代入y=x2+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称性求出二次函数y=x2-2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知PA=PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解析式，则可求得P点坐标．

∵二次函数y=x2+bx的图象过点A（4，0），

∴0=×42+4b，解得b=-2，

∴y=x2-2x，

∴对称轴为x==2，

∵二次函数y=x2-2x与x轴交于点A（4，0），

∴它与x轴的另一交点是O（0，0），

∵P在对称轴上，

∴PA=PO，

∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大，

设直线OC解析式为y=kx，

∴k=-3，

∴直线OC解析式为y=-3x，

令x=2，可得y=-3×2=-6，

∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，-6）．

故答案为（2，-6）．