Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．

（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；

（2）在（1）的条件下求BG的长；

（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．

Answer

（1）见解析；（2）BG＝ ；（3）①当＜BP≤时，点A在⊙P内；②当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．

【解析】

（1）利用平行线的性质和角平分线定义找到相等的角，进一步根据两角对应相等证明三角形相似；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义，得∠ABE=∠AFB，则AB=AF=4，则DF=1；根据平行线分线段成比例定理求得DE和CE的长；根据等腰梯形的性质和角平分线定义，得BG=CG；设BG=CG=x，根据△FDE∽△CGE，求得BG的长；
（3）根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析．

【解析】
（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．理由如下：

∵AD∥BC，AB=CD,

∴∠AFB＝∠EBC，∠ABC＝∠DCB，

∵BF平分∠ABC, CG平分∠BCD,

∴∠ABF＝∠BCG=∠ABC＝∠DCB，

∴△ABF∽△GBC；

∵DF∥BC，

∴△FDE∽△BCE；

∵∠AFB＝∠DCG=∠ABC＝∠DCB，∠DEF＝∠CEG，

∴△FDE∽△CGE.

∴△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，

∴∠ABE＝∠EBC，

∵AD∥BC，

∴∠AFB＝∠EBC，

∴∠ABE＝∠AFB，

∴AB＝AF．

∴AF＝4，DF＝1．

∵AD∥BC，

∴DF：BC＝DE：EC，

∴DE＝，CE＝．

∵AD∥BC，AB＝CD，

∴∠BCD＝∠ABC．

∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，

∴∠CBG＝∠BCG，

∴BG＝CG．

设BG＝CG＝x，则由△FDE∽△CGE，得

DF：CG＝DE：GE，

∴GE＝x．

又由△CGE∽△BCE，得

EC2＝EG•EB，

即＝x•（x+x），

∴x＝，

即BG＝．

（3）①连接AP，当BP＝AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP＝，

即BP＞AP时，点A在⊙P内．

∴当＜BP≤时，点A在⊙P内．

②根据①求得BE＝，

∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外

∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．