Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

试题（1）求出∠BAD=∠DAC，∠MAE=∠CAE，求出∠DAE的度数，求出∠AEC=∠ADC=∠EAD=90°，根据矩形的判定判断即可；

（2）求出AD=DC，得出∠ACD=∠DAC=45°，求出∠BAC=90°，即可求出答案．

试题解析：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE．

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠MAC+∠CAB=×180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形．

（2）证明：∵四边形ADCE是正方形，

∴DC=AD，

∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴△ADC为等腰直角三角形，

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

即△ABC的形状是等腰直角三角形．