Question

已知M、N直线l上两点，MN＝20，O、P为线段MN上两动点，过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF（如图），其中，两边OA、PF分别在直线l上，图形在直线l的同侧，且OA＝PF＝4，CO＝DP＝3，动点O从点M出发，以1单位/秒的速度向右运动；同时，动点P从点N出发，以2单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t秒．

（1）若t＝2.5秒，求点A与点F的距离；

（2）求当t为何值时，两长方形重叠部分为正方形；

（3）运动过程中，在两长方形没有重叠部分前，若能使线段AB、BC、AF的长构成三角形，求t的取值范围．

Answer

（1）4.5；（2）当t分别为5秒、秒时，两长方形重叠部分为正方形；（3）t的取值范围为

【解析】

（1）求出MA，NF的值即可判断；

（2）分两种情形:ABEF是正方形；OCDP是正方形.分别求解即可解决问题；

（3）求出相遇前AF＝7或1时的时间即可解决问题.

【解析】
（1）当t＝2.5秒时，MA＝MO+OA＝2.5+4＝6.5，

NF＝NP+PF＝2.5×2+4＝9，

∴AF＝20﹣6.5﹣9＝4.5．

（2）第一次重叠部分为正方形ABEF（如图）此时FA＝3，

MA＝t+4，NF＝2t+4，

∴（t+4）+（2t+4）﹣20＝3，

∴t＝5．

第二次重叠部分为正方形PDCO（如图）此时OP＝3，

OM＝t，PN＝2t，

∴20﹣t﹣2t＝3，

∴t＝，

∴当t分别为5秒、秒时，两长方形重叠部分为正方形；

（3）∵线段AB、BC、AF的长构成三角形，AB＝3，BC＝4，

∴1＜AF＜7，

重叠前AF＝7，则有20﹣（t+4）﹣（2t+4）＝7，

解得t＝；

AF＝1，则有20﹣（t+4）﹣（2t+4）＝1，

解得t＝，

∴t的取值范围为.