Question

已知，如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD⊥AB 于点 E，点 G 在直径 DF 的延 长线上，∠D=∠G=30°．

（1）求证：CG 是⊙O 的切线；

（2）若 CD=6，求 GF 的长．

Answer

（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OC，利用半径相等及三角形内角和定理计算出∠GCO =90°即可．
（2）利用30度角所对直角边等于斜边一半，设，则，利用勾股定理构建方程求出半径，在直角三角形OCG中利用先是关系即可求得答案．

（1）证明：连接OC，如图：

∵OC=OD，∠D=30°，

∴∠OCD=∠D=30°．

∵∠G=30°，

∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．

∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．

∴OC⊥CG．

又∵OC是⊙O的半径．

∴CG是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=CD=3．

∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，

∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．

设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．

解之得x=（舍负值）．

∴CO=2．

∴FO=2．

在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，

∴GO=2CO=4．

∴GF=GO﹣FO=2