Question

如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，

（1）试说明：是等边三角形；

（2）当时，试判断的形状，并说明理由；

（3）当为多少度时，是等腰三角形

Answer

(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

【解析】

（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；

（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；

（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．

(1)∵∠ACD=∠BCO

∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°

又∵CO=CD

∴△COD是等边三角形；

(2)∵△COD是等边三角形

∴CO=CD

又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC

∴△ACD≌△BCO（SAS）

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等边三角形，

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=60°，

∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，

∴△AOD是直角三角形；

(3)∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=∠COD=60°，

∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，

当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；

当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；

当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，

综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.