Question

如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．

（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

（2）设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）证明见试题解析；（3）P（5，4），或（5，），或（5，）．

【解析】

（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可计算AD和DB；

（2）把A、或B或C的坐标代入y=，确定二次函数表达式y=，连接MA，根据勾股定理计算AF，由勾股定理逆定理判断MA⊥AF，从而说明FA是切线；

（3）设P（x，4），当C为顶点时，在Rt△CMP1中用x表示CP1，根据列方程求解；当B为顶点时，在Rt△BDP2中用x表示CP2，根据列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合．

【解析】
（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，在Rt△AMD中，AD==3，同理在Rt△BMD中，BD=3

∴A（2，0），B（8，0），C（0，4）；

（2）把A（2，0）y=，解得k=-

∴y=，∴F（5，-）

连接MA，则MF=4+=，AF==

∴

∴MA⊥AF

∴FA与⊙M相切；

（3）设P（x，4），

当C为顶点时，在Rt△CMP1中，

∴，x=

点P在x轴上方，故x=，所以（，4）；

当B为顶点时，在Rt△BDP2中，

∴，x=，点P在x轴上方

故x=，所以（，4）；

当P是顶点时，P和M重合，P3（5，4）．

综上当P（，4）、（，4）或（5，4）时△PBC是等腰三角形．