Question

如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α（α为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，设OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面积为s，且cosα，OA是方程2z²﹣21z+10＝0的两根．

（1）当∠MAN旋转30°时，求点N移动的距离；

（2）求证：AN²＝ON•MN；

（3）试求y与x的函数关系及自变量的x的取值范围．

Answer

（1）点N移动的距离为10；（2）见解析；（3）y＝，x的取值范围是0≤x＜10．

【解析】

（1）当AM边与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，求此时的ON，当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，解直角三角形求ON，作差即可；（2）根据∠MAN＝∠POQ＝α，公共角∠MNA＝∠ONA，判断△OAN∽△ANM，利用相似比证题；（3）过A作AD⊥OP，垂足为D，解Rt△OAD求AD，OD，在Rt△ADN中，利用勾股定理求x、y的函数关系式．

【解析】

（1）解方程2z2﹣21z+10＝0，得，

z1＝，z2＝10，

∴cosα＝，OA＝10，

∴α＝60°，

∵∠MAN＝∠POQ＝α，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，

ON＝OA＝10，

当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，

∵OA＝10，∠AON＝60°，

得ON＝20，

故点N移动的距离为10；

（2）∵∠MAN＝∠POQ＝α，∠MNA＝∠ONA，

∴△OAN∽△AMN，

∴，

即AN2＝ON•MN；

（3）过A作AD⊥OP，垂足为D，在Rt△OAD中，OD＝OA•cos60°＝10×＝5，AD＝OA•sin60°＝，

∴DN＝ON﹣OD＝y﹣5，

在Rt△ADN中，AN2＝AD2+DN2＝75+（y﹣5）2，

又由（2）得AN2＝ON•MN，即y2﹣10y+100＝y（y﹣x），

整理得y＝，

∵y＞0，

故10﹣x＞0，即x＜10．

∵x≥0，

∴x的取值范围是0≤x＜10．