Question

如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE，

AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积

等于___（结果保留根号）．

Answer

3-

【解析】

根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积.

【解析】
作CM⊥AB于M，

∵等边△ABC的面积是4，

∴设BM=x，∴tan∠BCM=，

∴BM=CM，

∴×CM×AB=×2×CM2=4，

∴CM=2，BM=2，

∴AB=4，AD=AB=2，

在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，

则∠AFH=45°，∠EFH=30°，

∴AH=HF，

设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．

又∵AH+EH=AE=AD=2，

∴x+x=2，

解得x=3-．

∴S△AEF=×2×（3-）=3-．

故答案为3-