Question

已知：如图，抛物线c₁经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．

（1）求抛物线c₁解析式；

（2）求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；

（4）设抛物线c₁的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线c₂经过点E（抛物线c₂与抛物线c₁不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S四边形ABDE＝9（平方单位）；（3）见解析；（4），，，，，，．

【解析】

（1）根据图象可得出A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可过D作DF⊥x轴于F，将四边形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DFE三部分来求；（3）可先根据坐标系中两点间的距离公式，分别求出AB、BE、DE、BD的长，然后看两三角形的线段是否对应成比例即可；（4）要使两三角形全等，那么两直角三角形的两直角边应对应相等．

当EF＝EG＝2，DF＝MG＝4，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，﹣4），（1，﹣4）．

当EF＝MG＝2，DF＝EG＝4，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；综上所述可得出a、b的值．

（1）设c1的解析式为y＝ax2+bx+c，由图象可知：c1过A（﹣1，0），B（0，3），C（2，3）三点．

，

解得：，

∴抛物线c1的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∴抛物线 的顶点D的坐标为（1，4）；

过D作DF⊥x轴于F，由图象可知：OA＝1，OB＝3，OF＝1，DF＝4；

令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∴OE＝3，则FE＝2．

S△ABO＝OA•OB＝×1×3＝；

S△DFE＝DF•FE＝×4×2＝4；

S梯形BOFD＝（BO+DF）•OF＝；

∴S四边形ABDE＝S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE＝9（平方单位）．

（3）如图，过B作BK⊥DF于K，则BK＝OF＝1．

DK＝DF﹣OB＝4﹣3＝1．

∴BD＝，

又DE＝；

AB＝，BE＝3；

在△ABO和△BDE中，

AO＝1，BO＝3，AB＝，

BD＝，BE＝3， DE＝2，

∵，

∴△AOB∽△DBE．

（4）令y=0，则

解得

∴点E的坐标为(3, 0)，

由（1）可知物线 的顶点D的坐标为（1，4）

∴F的坐标为(1,0)，

∴DF=4，EF=3-1=2,

∵以M、G. E为顶点的三角形与以D、E. F为顶点的三角形全等,

∵M（a，b），

∴G，（a，0）

∴

EG与DF是对应边时，EG=DF=4, MG=EF=2,

∴

解得或

∴或或 或．

EG与EF是对应边时，EG=EF=2, MG=DF=4,

∴

解得或

∴或或或（舍去），

综上所述：，，，，，，．