Question

如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发沿AB方向以4cm/s的速度向B点运动，同时点Q从C点出发沿CA方向以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为xs．

（1）当x＝时，求；

（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer

（1）；（2）当AP＝cm或AP＝20cm时，△APQ与△CQB相似．

【解析】

（1）当x=时，可求出AP，PQ，AB，AC的长度，于是通过计算可证得比例关系式AP：AB＝AQ：AC，可得，根据相似三角形的性质即可求出；

（2）分两种情况进行讨论．已知∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

（1）由题意得，AP＝4x，AQ＝30﹣3x,

当x＝时，AP＝，AQ＝20,

∴，，

∴AP：AB＝AQ：AC，

又，

∴，

∴＝；

（2）分两种情况讨论．

情况1：当CQ：AP＝BC：AQ时，△APQ∽△CQB，

即有＝，

解得x＝，

经检验，x＝是原分式方程的解．此时AP＝cm，

情况2：当CQ：AQ＝BC：AP时，△APQ∽△CBQ，

即有＝，

解得x＝5，

经检验，x＝5是原分式方程的解．此时AP＝20cm．

综上所述，AP＝cm或AP＝20cm．