Question

如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过D作DF//AE交BC的延长线于点F，过点C作CG⊥DF于点G，延长AE、GC交于点H，点P是线段DG上的任意一点（不与点D、点G重合），连接CP，将△CPG沿CP翻折得到，连接. 若CH=1，则长度的最小值为__________.

Answer

【解析】

如图，作DM⊥AE于M，首先证明四边形DMHG是正方形，求出正方形DMHG的边长，以及AC的长，因为点P在线段DG上运动时，点G′在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，所以当A、G′、C共线时，AG′最小．由此即可解决问题．

【解析】
如图，作DM⊥AE于M．设CG=x，

∵AH∥DF，GH⊥DF，
∴∠MHG=∠HGD=∠DMH=90°，
∴四边形DMHG是矩形，
∵∠ADC=∠MDG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，

,

∴△ADM≌△CDG（AAS），
∴DM=DG，
∴四边形DMHG是正方形，

∴GH=DG，
∵CH=1，CG=x，
∴DG=CG+HC=x+1，

在Rt△DCG中，，

∴x=3，x=-4(舍去)，

∴CG′=CG=3，

在Rt△ADC中，AC= ，

∵点P在线段DG上运动时，点G′在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，
∴当A、G′、C共线时，AG′最小，
∴AG′的最小值为AC-CG′= .

故答案为：.