Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，AC=20,点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接写出BC的长是　    　，点D的坐标是　    　；

（2）证明：△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer

（1） A（-12，0），D（12，0）；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为（8，0）或（ ，0）.

【解析】

试题（1）利用矩形的性质，在中，利用三角函数求出的长度，从而得到点坐标；由点与点关于轴对称，进而得到点的坐标；
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知从而问题解决；
（3）当为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有
②当时，此时△AEF与△DCE相似比为，则有

③当时，点与点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

试题解析：(1)由题意

∵四边形ABCO为矩形，AB=16，

∴A点坐标为(−12,0)，

∵点D与点A关于y轴对称，

∴D(12,0).

(2)点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质)

∴∠AEF=∠DCE.

则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE.

(3)当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE=EF时，

∵△AEF∽△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AE−OA=20−12=8，

∴E(8,0)；

②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∵△AEF∽△DCE，

即解得

③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=∠CAO，即此时点与点重合，这与已知条件矛盾.

综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或